Kiirust määratletakse kui objekti kiirendust teatud suunas. Paljudes tavalistes olukordades kasutame võrrandit v = s/t, kus v võrdub kiirusega, s võrdub objekti kogu nihkega lähtepunktist ja t võrdub kulunud ajaga. Kuid tehniliselt esindab võrrandi tulemus ainult "keskmist" kiirust raja jooksul. Arvutuste abil on võimalik leida objekti kiirus marsruudi ajal igal ajal. Seda nimetatakse "kiiruse kiiruseks", mis on määratletud võrrandiga v = (ds)/(dt)või teisisõnu objekti keskmise kiiruse tuletise võrrand.
sammud
Osa 1 /3: Kiiruse arvutamine
Samm 1. Alustage kiiruse võrrandiga nihkes
Objekti hetkelise kiiruse saamiseks on kõigepealt vaja võrrandit, mis näitab objekti asukohta (nihke mõttes) antud hetkel. See tähendab, et võrrandil peab olema muutuja s üksi ühelt poolt ja t teisel pool, kuid mitte tingimata üksi, näiteks:
s = -1,5t2+ 10 t + 4
-
Selles võrrandis on muutujad järgmised:
-
- Nihe = s. Objekti läbitud vahemaa lähteasendist. Näiteks kui objekt liigub 10 meetrit edasi ja 7 meetrit tahapoole, on kogunihe 10–7 = 3 meetrit (mitte 10 + 7 = 17 meetrit).
-
Aeg = t. Iseenesestmõistetav. Tavaliselt mõõdetakse sekunditega.
-
Samm 2. Arvutage võrrandi tuletis
Võrrandi tuletis on lihtsalt erinev võrrand, mis näitab selle kõverat igal ajahetkel. Nihkevalemi tuletise leidmiseks eristage funktsioon selle tuletisinstrumentide leidmise üldreegliga: Kui y = a*x , tuletis = a*n*xn-1. Seda reeglit rakendatakse igale võrrandi poolel olevale terminile, mis sisaldab t.
- Teisisõnu, alustage võrrandi vasakult paremale poole t-ga. Iga kord, kui leiate t, lahutage astendajast 1 ja korrutage kogu termin algse astendajaga. Kõik konstantsed terminid (terminid, mis ei sisalda t) kaovad, kui need korrutatakse nulliga. See protsess pole nii raske, kui tundub - vt ülaltoodud tuletatud võrrandit:
s = -1,5t2+ 10 t + 4
(2) -1,5 t(2-1)+ (1) 10 t1 - 1 + (0) 4 t0
-3 t1 + 10 t0
- 3 t + 10
Samm 3. Asendage s ds/dt -ga
Et näidata, et uus võrrand on vana tuletis, asendage s ds/dt märkega. Tehniliselt tähendab märge "s tuletist t suhtes". Lihtsam viis selle mõistmiseks on arvata, et ds/dt on lihtsalt esimese võrrandi mis tahes punkti kõver. Näiteks s = -1, 5t tehtud joone kõvera leidmiseks2 + 10t + 4, kui t = 5, määrake selle tuletises lihtsalt 5 t -le.
- Selles näites peaks valmis võrrand välja nägema selline:
ds/dt = -3t + 10
Samm 4. Hetkelise kiiruse leidmiseks määrake uuele võrrandile väärtus t
Pärast tuletatud võrrandi saamist on hetkelist kiirust lihtne leida igal ajahetkel. Peate vaid valima t väärtuse ja määrama selle tuletatud võrrandile. Näiteks kui soovite leida hetkelise kiiruse väärtusega t = 5, asendage tuletisinstrumendi ds/dt = -3t + 10. t 5 -ga. Lahendage lihtsalt võrrand:
ds/dt = -3t + 10
ds/dt = -3 (5) + 10
ds/dt = -15 + 10 = - 5 meetrit sekundis
Pange tähele, et kasutati ülaltoodud meetrit/teist mõõtühikut. Kuna me tegeleme nihkega meetrites, ajaga sekundites ja kiirusega üldiselt vaid aja jooksul nihkumisega, on mõõtmine asjakohane
Osa 2/3: kiirkiiruse hindamine graafikul
Samm 1. Joonestage objekti nihe aja jooksul
Ülaltoodud osas mainiti, et tuletisinstrumendid pole muud kui valemid, mis aitavad leida kõverat selle võrrandi mis tahes ajahetkel. Tegelikult, kui joonistada graafikule objekti nihke joonega, on joone kõver antud punktis võrdne objekti hetkelise kiirusega.
- Graafiku koostamiseks kasutage aja tähistamiseks x-telge ja nihke tähistamiseks y-telge. Seejärel jagage punktid, määrates nihkevõrrandisse t väärtused, leidke väärtused s ja joonistage graafikule t, s (x, y).
- Pange tähele, et graafik võib ulatuda x-telje alla. Kui objekti liikumist tähistav joon ulatub x-telje alla, tähistab see objekti, mis liigub tagasi algusest. Üldiselt ei ulatu graafik y -telje taha - ajas tagasi liikuvate objektide kiirust pole kombeks mõõta!
Samm 2. Vali sirge punkt P ja punkt Q selle lähedal
Kõvera leidmiseks punktis P kasutatakse trikki nimega "piiri arvutamine". Piirangu arvutamine hõlmab kahe punkti (P ja Q) valimist kõverjoonel ja kahe punkti ühendava sirge kõvera leidmist ikka ja jälle, samal ajal kui kaugus P q Q vahel väheneb.
Oletame, et nihkejoon sisaldab punkte (1, 3) ja (4, 7). Sel juhul, kui soovite leida kõverat (1, 3), määratlege (1, 3) = P ja (4, 7) = Q.
Samm 3. Leidke kõver P ja Q vahel
P ja Q vaheline kõver on P ja Q y väärtuste erinevus üle P ja Q x väärtuste erinevus. Teisisõnu, H = (yQ -jahFOR)/(xQ - xFOR), kus H on kahe punkti vaheline kõver. Eelmises näites on P ja Q vaheline kõver järgmine:
H = (yQ-jahFOR)/(xQ- xFOR)
H = (7 - 3)/(4 - 1)
H = (4)/(3) = 1, 33
Samm 4. Korrake mitu korda, nihutades Q -d P. -le lähemale
Eesmärk on vähendada Q ja P vahemaad üha enam, kuni jõuate ühe punkti lähedale. Mida väiksem on kaugus Q ja P vahel, seda lähemal on selle väikeste segmentide kõver punkti P kõverale. Teeme seda näitevõrrandi jaoks paar korda, kasutades punkte (2; 4, 8), (1, 5; 3, 95) ja (1, 25; 3, 49) Q ja algne punkt (1, 3) P puhul:
Q = (2; 4, 8):
H = (4, 8 - 3)/(2 - 1)
H = (1, 8)/(1) = 1, 8
Q = (1, 5,3, 95):
H = (3,95 - 3)/(1, 5 - 1)
H = (0,95)/(0,5) = 1, 9
Q = (1, 25; 3, 49):
H = (3, 49 - 3)/(1, 25 - 1)
H = (0,49)/(0,25) = 1, 96
Samm 5. Hinnake sirge lõpmatult väikese intervalli kõverat
Kui Q läheneb P -le, jõuab H punktile kõverale lähemale. Lõpuks, lõpmata väikeses intervallis, on H võrdne P -i kõveraga. Kuna seda intervalli pole võimalik mõõta ega arvutada, on see ainult hinnanguline kõver P -s, kui see selgub testitud punktidest.
-
Näites, liigutades Q lähemale P -le, saime H jaoks väärtused 1, 8, 1, 9 ja 1,96. Kuna need arvud näivad lähenevat 2 -le, võib öelda, et
2. samm. on hea hinnang kõverale P.
- Pidage meeles, et kõver joonel antud punktis on võrdne selle punkti joone võrrandi tuletisega. Kuna joon näitab objekti nihet ajas ja nagu ülaltoodud lõigust näha, on objekti hetkeline kiirus selle nihke tuletis antud punktis, võib ka öelda, et 2 meetrit sekundis on hea hinnang hetkelisele kiirusele t = 1.
Osa 3/3: Näited probleemidest
Samm 1. Leidke hetkeline kiirus t = 4, arvestades nihkevõrrandit s = 5t3 - 3 t2 + 2t + 9.
See on sama, mis esimese lõigu näide, välja arvatud juhul, kui see on ruutvõrrandi asemel kuup, nii et see lahendatakse samamoodi.
- Esiteks on võrrandi tuletis:
- Seejärel omistame väärtusele t (4):
s = 5 t3- 3 t2+ 2t + 9
s = (3) 5 t(3 - 1) - (2) 3 t(2 - 1) + (1) 2 t(1 - 1) + (0) 9 tonni0 - 1
15t(2) - 6 t(1) + 2 t(0)
15t(2) - 6 t + 2
s = 15 t(2)- 6 t + 2
15(4)(2)- 6(4) + 2
15(16) - 6(4) + 2
240 - 24 + 2 = 218 meetrit sekundis
Samm 2. Kasutage graafilist hinnangut, et leida hetkeline kiirus (1, 3) nihkevõrrandi s = 4t jaoks2 - t.
Selle probleemi puhul kasutate P -punktina (1, 3), kuid peate leidma mõned teised läheduses asuvad punktid, mida kasutada Q -punktidena. Seega tuleb vaid leida H -väärtused ja teha hinnang.
- Esiteks leiame Q -punktid t = 2, 1, 5, 1, 1 ja 1, 01.
- Siis on H väärtused:
- Kuna H väärtused näivad lähenevat 7 -le, võib öelda, et 7 meetrit sekundison hea hinnang hetkelisele kiirusele (1, 3).
s = 4t2- t
t = 2:
s = 4 (2)2- (2)
4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, nii Q = (2, 14)
t = 1,5:
s = 4 (1, 5)2 - (1, 5)
4 (2, 25) - 1, 5 = 9 - 1, 5 = 7, 5, siis Q = (1, 5,7, 5)
t = 1, 1:
s = 4 (1, 1)2 - (1, 1)
4 (1, 21) - 1, 1 = 4, 84 - 1, 1 = 3, 74, siis Q = (1, 1, 3, 74)
t = 1,01:
s = 4 (1, 01)2 - (1, 01)
4 (1, 0201) - 1, 01 = 4, 0804 - 1, 01 = 3, 0704, siis Q = (1, 01; 3, 0704)
Q = (2, 14):
H = (14 - 3)/(2 - 1)
H = (11)/(1) =
11. samm.
Q = (1, 5,7, 5):
H = (7, 5 - 3)/(1, 5 - 1)
H = (4, 5)/(0, 5) =
9. samm.
Q = (1, 1, 3, 74):
H = (3, 74 - 3)/(1, 1 - 1)
H = (0, 74)/(0, 1) = 7, 3
Q = (1, 01; 3, 0704):
H = (3, 0704 - 3)/(1, 01 - 1)
H = (0, 0704)/(0, 01) = 7, 04
Näpunäiteid
- Kiirenduse (kiiruse muutumine aja jooksul) leidmiseks kasutage esimese osa meetodit, et saada nihkefunktsiooni tuletatud võrrand. Nii et hankige teine tuletis, seekord tuletatud võrrandist. Nii saate kiirenduse leidmiseks teatud ajahetkel võrrandi - piisab, kui määrata ajale väärtus.
- Võrrand Y (nihe) X -ga (aeg) võib olla üsna lihtne, näiteks Y = 6x + 3. Sel juhul on kõver konstantne ja te ei pea kõvera saamiseks tuletist leidma, mis on, lähtudes lineaargraafikute põhimudelist Y = mx + b, 6.
- Nihe sarnaneb kaugusele, kuid sellel on kindel suund, mis muudab vektori nihke ja skalaarkiirenduse. Nihe võib olla negatiivne ja kaugus ainult positiivne.